小克隆与投影性质

1986 年，第二作者将有限论域上的极小克隆分类为五种类型。我们将此分类推广至无限论域及多克隆 (multiclones)。我们证明每个非平凡克隆都包含一个属于这五种类型之一的“小”克隆。由此我们部分推导出了早期的一个结果，即：如果 $\mathcal C$ 是定义在至少含有两个元素的论域 $A$ 上的克隆，且包含所有常数运算，那么所有二元幂等运算均为投影，且存在某个 $m\geq 3$ 使得某个 $m$ 元幂等运算不是投影，当且仅当在 $A$ 上存在一个 Boolean 群 $G$，使得 $\mathcal C$ 是由所有形如 $a+\sum_{i\in I}x_i$ 的运算 $f(x_1,..., x_n)$ 组成的集合，其中 $a\in A$ 且 $I\subseteq \{1,..., n\}$。