小敏感度集合的大小：Simon 引理的推广

我们研究了具有小敏感度的集合 $S\subseteq\{0, 1\}^n$ 的结构。著名的 Simon 引理指出，任何敏感度为 $s$ 的 $S\subseteq\{0, 1\}^n$ 的大小至少为 $2^{n-s}$。这一结果已被用于证明布尔函数敏感度的下界，并应用于并行计算理论和“敏感度与块敏感度”猜想。在本文中，我们更深入地研究了此类集合的大小及其结构。我们展示了一个意想不到的“间隙定理”：如果 $S\subseteq\{0, 1\}^n$ 的敏感度为 $s$，那么要么 $|S|=2^{n-s}$，要么 $|S|\geq \frac{3}{2} 2^{n-s}$。这是通过将此类集合分类为可从 $\{0, 1\}^{n'}$（其中 $n'<n$）的低敏感度子集构造的集合，以及无法以此方式构造的不可约集合，并证明不可约集合大小的下界来实现的。这为布尔超立方体 $\{0, 1\}^n$ 的低敏感度子集结构提供了新的见解。