面向自适应与高阶SDE求解器的布朗路径与积分单种子生成

尽管自适应时间步长在ODE仿真中取得了成功，但迄今为止它在随机微分方程（SDE）中的应用却寥寥无几。为了自适应地仿真SDE，人们开发了虚拟布朗树（VBT）等方法，这些方法可以非按时间顺序地生成布朗运动（BM）。然而，在大多数应用中，仅知道布朗运动的值不足以实现高阶收敛；为此，我们必须计算BM的时间积分，例如 $\int_s^t W_r \, dr$。为了自适应地使用高阶SDE求解器，我们将VBT进行扩展，使其在生成布朗增量的同时生成这些BM的积分。我们基于JAX的构造实现已包含在流行的Diffrax库中（https://github.com/patrick-kidger/diffrax）。由于VBT生成的整个布朗路径由单个PRNG种子唯一确定，因此无需存储先前生成的样本，这使得内存占用保持恒定，并实现了实验的可重复性和强误差估计。基于二分搜索，VBT的时间复杂度在容差参数 $\varepsilon$ 上是对数级的。与仅在部分二进时间点精确的原始VBT算法不同，我们证明了只要查询时间至少相距 $\varepsilon$，我们的构造就能在任何查询时间点精确匹配布朗运动及其时间积分的联合分布。我们展示了由新型VBT支持的自适应高阶求解器的两个应用。使用自适应求解器仿真高波动率CIR模型，我们获得了比恒定步长两倍以上的收敛阶。我们将自适应三阶欠阻尼或动力学Langevin求解器应用于MCMC问题，在该问题中，我们的方法优于No U-Turn Sampler，且仅使用了其十分之一的函数评估次数。