可解李群的单纯传递 NIL-仿射作用

每个单连通且连通的可解李群 $G$ 都通过一个 nilpotent 李群 $H$ 上的仿射变换容许一个单纯传递作用。尽管存在性得到保证，但对于哪些李群 $G$ 能在哪些李群 $H$ 上单纯传递地作用，所知甚少。迄今为止焦点主要放在 $G$ 也是幂零的情形，由此得到仅依赖于相应李代数并与 post-Lie 代数结构概念相关的刻画。本文研究该问题的两个不同方面。首先，我们给出一种方法，通过仅考察所给定作用 $\rho: G \to \operatorname{Aff}(H)$ 在相应李代数之间诱导的形态 $\varphi: \mathfrak{g} \to \operatorname{aff}(\mathfrak{h})$，来检验其是否为单纯传递。其次，我们展示如何再次通过研究相应李代数的性质，来检验给定的可解李群 $G$ 是否在给定的 nilpotent 李群 $H$ 上单纯传递地作用。两种方法的主要工具是可解李代数的半单分裂及其与代数包的关系，我们也在李代数层面上定义了代数包。作为一个应用，我们给出了直至维数 $4$ 的单纯传递作用可能性的完整描述。