弹性距离度量下 VC 维的简化与改进界

我们研究范围空间，其中基集由 $\mathbb{R}^d$ 中的多边形曲线或平面中可能含孔的多边形区域组成，范围是由弹性距离度量定义的球，如豪斯多夫距离、弗雷歇距离和动态时间规整距离。当实例为轨迹、时间序列或多边形时，这些范围空间出现在分类、范围计数、密度估计和聚类等各种应用中。Vapnik-Chervonenkis 维（VC 维）在为这些范围空间设计算法时起着重要作用。我们证明，对于多边形曲线的弗雷歇距离以及多边形曲线和平面多边形区域的豪斯多夫距离，VC 维的上界为 $O(dk\log(km))$，其中 $k$ 为球心的复杂度，$m$ 为基集中多边形曲线或区域的复杂度，$d$ 为环境维度。对于 $d \geq 4$，该界在参数 $d, k$ 和 $m$ 各自上均是紧的。对于多边形曲线的动态时间规整距离，我们的分析直接给出上界 $O(\min(dk^2\log(m),dkm\log(k)))$。