西蒙斯锥与一阶$p$-拉普拉斯特征值的等变最大化

我们考虑 $\mathbb{R}^{2n}$（$n \ge 2$）中超曲面上 $p$-拉普拉斯算子的第一个狄利克雷特征值的优化问题。若 $p \ge 2n-1$，则在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中满足 $O(n) \times O(n)$-不变且有一个固定边界分支的超曲面中，存在一个使 $p$-拉普拉斯算子的第一个狄利克雷特征值最大化的曲面。该曲面要么是西蒙斯锥，要么是一个 $C^1$ 超曲面，取决于 $p$ 和 $n$。若 $n$ 固定且 $p$ 很大，则最大化曲面不是西蒙斯锥。若 $p=2$ 且 $n \le 5$，则西蒙斯锥不最大化第一个特征值。