次黎曼几何中的最短与最直测地线

黎曼测地线有许多等价的定义。它们被自然地推广到次黎曼流形，但变得不再等价。我们综述了次黎曼流形测地线的不同定义及其相互关系。我们回顾了测地线作为（局部）最短曲线的三种变分定义（Euler-Lagrange、Pontyagin 和 Hamilton）以及测地线作为最直曲线的三种定义（d'Alembert、Levi-Civita-Schouten 和 Cartan-Tanaka），这些在非完整力学中使用，并讨论它们的相互关系。我们考虑了一类与黎曼流形上主丛相关联的大的次黎曼流形类，其中最短测地线与最直测地线一致。利用旗流形的几何，我们描述了一些紧致齐性次黎曼流形（包括接触次黎曼流形和对称次黎曼流形）的类，其中最直测地线与最短测地线一致。在这些情形中，测地线的构造归结为黎曼齐性流形或李群上左不变度量的黎曼测地线的描述。