临界锥中奇异方程 $-\Delta u=u^{-\gamma}$ 的精确边界增长率估计

对于 $\gamma>0$，我们在临界 $C^{1,1}$ 上图锥 $Cone_{\Sigma}$ 中研究奇异 Lane-Emden-Fowler 方程 Dirichlet 问题 \begin{equation*} -\Delta u=u^{-\gamma} \end{equation*} 解的精确边界增长率估计。我们证明增长率估计在以下三种情况下表现出根本不同的行为：$1<\gamma<2$、$\gamma=2$ 和 $\gamma>2$。此外，我们获得了 $\gamma>1$ 时原点附近的精确增长率估计。作为推论，我们证明当 $Cone_{\Sigma}$ 是 $C^{1,1}$ 上图锥时，\cite[Theorem 1.3]{GuLiZh25} 中的附加可解性条件对于实现其中的增长率既是充分的也是必要的，从而解决了该论文遗留的主要开放问题。借助增长率估计，我们还通过内部 Schauder 估计导出了解的最优连续模。我们的方法是通过引入参考点序列 $p_{k}=\frac{16^{1-k}}{2}\vec{e_{n}}$ 来控制区域 $\Omega=Cone_{\Sigma}\cap B_{1}$ 中解 $U(x)$ 的值。从 $U(x)$ 的 Green 函数表示中，我们导出序列 $a_{k}=16^{k\phi}U(p_{k})$ 的离散积分方程。这种计算将原始 PDE 问题转化为离散积分方程的递推，可使用基本 ODE 方法进行有效分析。