Shapley 遇见 Shapley

本文关注匹配博弈中 Shapley 值的分析。匹配博弈构成了一类基本的合作博弈，有助于理解和建模拍卖与分配问题。在匹配博弈中，顶点联盟的价值等于该联盟诱导子图中最大基数匹配的权重。Shapley 值是合作博弈论中最重要的解概念之一。在建立一些一般性见解后，我们表明对于某些特殊情况，匹配博弈的 Shapley 值可以在多项式时间内计算：最大度为二的图，以及具有小规模团或反团模分解的图（完全 $k$-部图是此类的一个显著特例）。后一结果可扩展至其他各类知名的基于图的合作博弈。接着，我们证明了在一般情况下计算无权匹配博弈的 Shapley 值是 #P-完全的。最后，我们提出了一种完全多项式时间随机近似方案（FPRAS）。鉴于 #P-完全性结果，该 FPRAS 可被视为所能获得的最佳正面结果。