集合论与心理学中的心智模型

我们研究心理学家 Jens Mammen 提出的人类心智模型的数学性质。该模型的数学实现由所谓的 Mammen 空间组成，其中 Mammen 空间是一个三元组 $(U,\mathcal S,\mathcal C)$，这里 $U$ 是一个非空集合（“宇宙”），$\mathcal S$ 是 $U$ 上的一个完美 Hausdorff 拓扑，$\mathcal C\subseteq\mathcal P(U)$ 与 $\mathcal S$ 一起满足某些公理。我们反驳了 J. Hoffmann-J{\o}rgensen 提出的一个猜想，他猜想“完全”Mammen 空间的存在蕴含选择公理（Axiom of Choice），我们通过证明在第一个 Cohen 模型中，ZF 成立但 AC 不成立，却存在一个完全 Mammen 空间，从而反驳了该猜想。我们通过证明在第一个 Cohen 模型中，每个完美拓扑都可扩张为极大完美拓扑来得到这一点。另一方面，我们也证明了如果所有集合都是 Lebesgue 可测的，或所有集合都是 Baire 可测的，则不存在具有可数宇宙的完全 Mammen 空间。最后，我们研究了与完全 Mammen 空间和极大完美拓扑相关的两个新基数不变量 $\mathfrak u_M$ 和 $\mathfrak u_T$，并建立了在 ZFC 中可证的一些基本不等式。我们证明由 Martin 公理可推出 $\mathfrak u_M=\mathfrak u_T=2^{\aleph_0}$，相反地，我们证明在 Baumgartner-Laver 模型中有 $\aleph_1=\mathfrak u_M=\mathfrak u_T<2^{\aleph_0}=\aleph_2$。