半伽罗瓦范畴 I：经典 Eilenberg 簇理论

本文是我们在 LICS'16 上宣布的会议论文的扩展版本；为了对其进行补充，本版本从不同的视角撰写，包含了我们工作的 topos 理论方面。在技术上，本文引入并研究了半伽罗瓦范畴类，它扩展了伽罗瓦范畴，并且与 profinite monoids 对偶，其方式正如伽罗瓦范畴与 profinite groups 对偶一样；对这一范畴类的研究旨在为 Eilenberg 的正则语言簇理论提供一个公理化重构——该理论是形式语言理论中自 20 世纪 60 年代中期以来发展起来的一个分支，特别关注正则语言、有限 monoids 和确定性有限自动机的系统分类。在本文中，我们给出了在 LICS'16 上宣布的核心结果的详细证明，以及 topos 理论的考量。主要结果包括（I）profinite monoids 与半伽罗瓦范畴之间对偶定理的证明，扩展了 profinite groups 与伽罗瓦范畴之间的对偶定理；基于半伽罗瓦范畴的这一结果，我们随后讨论了（II）从对偶定理视角对 Eilenberg 理论的重释；与此理论重释相关，（III）我们还给出了 profinite monoids M 的分类 topos BM 在一般 coherent topoi 中的纯 topos 理论刻画，这是（I）的一个 topos 理论应用。该刻画指出，一个 topos E 等价于某个 profinite monoid M 的分类 topos BM，当且仅当 E 是（i）coherent 的，（ii）noetherian 的，并且（iii）具有一个满射 coherent point。这种 topos 理论的考量与我们在 LICS'16 上提出的、关于 Eilenberg 理论的逻辑和几何问题有关，这些问题在本文中仍然悬而未决。