量子 Rajeev-Ranken 模型中的 screwon 谱统计与色散关系

Rajeev-Ranken（RR）模型是一个哈密顿系统，用于描述与 1+1D SU(2) 主手征模型伪对偶的标量场论中波数为 $k$ 的螺旋型非线性波（screwon）。在经典层面上，基于幂零/欧几里得泊松代数上二次哈密顿量的 RR 模型是 Liouville 可积的。通过在略微扩展的相空间中采用正则变量，该模型被解释为具有旋转能量的新型三维柱对称四次振子。在此，我们通过数值对角化并辅以变分和微扰近似验证，研究了量子化 screwon 的谱统计和色散关系。我们还推导了累积能级分布的半经典估计，其与数值对角化结果相比表现良好。该能谱表现出可积系统典型的能级交叉。发现第 $i$ 个展开的最近邻间距在 $i$ 较小时遵循泊松统计。非重叠间距比也表明连续的谱间隙是独立分布的。在短长度能量窗口上表现出普遍的线性行为后，谱刚性在一个长度和值上达到饱和，且该长度和值与能量的平方根成比例。对于强耦合 $\lambda$ 和中间 $k$，我们论证了约化 screwon 能量只能依赖于乘积 $\lambda k$。在数值上，我们发现对 $\lambda$ 和 $k$ 的幂律依赖具有大致相同的指数 2/3，前提是角动量量子数 $l$ 远小于径向波函数中的节点数 $n$。另一方面，对于基态 $n = l = 0$，共同指数变为 1。