螺旋离散动力系统及其在精确慢NIM中的应用

给定整数 $n,k,\ell$ 满足 $0<k<n, \; 1<\ell$ 以及整数向量 $x = (x_1,\ldots,x_n)$；记 $m = m(x)$ 为 $x$ 中为 $\ell$ 倍数的条目数。按如下方式选择 $x$ 的 $n-k$ 个条目：若 $n-k \leq m(x)$，取 $x$ 中为 $\ell$ 倍数的 $n-k$ 个最小条目；若 $n-k > m(x)$，取所有 $m$ 个此类条目（若有），并任意添加剩余的 $n-k-m$ 个条目，例如取最大的那些。在一步中，所选 $n-k$ 个条目（熊）保持其值不变，而其余 $k$ 个（牛）减少1。重复这些步骤得到序列 $S = S(n,k,\ell,x^0) = (x^0 \to x^1 \to \ldots \to x^j \to \ldots)$。它是“拟周期的”。更精确地说，存在一个函数 $N = N(n,k,\ell,x^0)$ 使得对所有 $j \geq N$ 有 $m(x^j) \geq n-k$ 且 $range(x^j) \leq \ell$，其中 $range(x) = (\max(x_i \mid i \in [n]) - \min(x_i \mid i \in [n])$。此外，$N$ 是 $n,k,\ell$ 和 $range(x^0)$ 的多项式，并可在时间线性于 $n,k,\ell$ 和 $\log(1 + range(x^0))$ 内计算。经过 $N$ 步后，系统“像螺旋一样”运动。假设 $x_1 \leq \dots \leq x_n$，在 $[n] = \{1, \ldots, n\}$ 上引入循环序，将1和 $n$ 视为邻居。然后，熊和牛将 $[n]$ 划分为两个区间，每 $\ell$ 步旋转角度 $2 \pi k /n$。此外，每经过 $p = \ell n / GCD(n,k) = \ell LCM(n,k) / k$ 步，$x$ 的所有条目都减少相同的值 $\delta = pk/n$，即对所有 $i \in [n]$ 和 $j \geq N$ 有 $x_i^{j+p} - x_i^j = \delta$。我们提供了一个算法，可在时间线性于 $n,k,\ell, \log(1 + range(x^0))$（和 $\log (1+j)$）内计算 $N$（和 $x^j$）。在 $k=n-1$ 且 $\ell = 2$ 的情况下，此类螺旋动力系统可应用于无偏博弈。