具有二次状态代价的薛定谔桥是精确可解的

薛定谔桥是一种扩散过程，它在规定时间内将给定分布引导至另一个分布，同时最小化所需努力。它可以被视为最优质量传输的随机动力学版本，并在生成扩散模型和随机最优控制中有着日益增长的应用。我们称一个薛定谔桥是“精确可解的”，如果其关联的无控马尔可夫核具有闭式解，因为这样对于具有有限二阶矩的任意端点分布，就可以使用动态Sinkhorn递归进行数值计算。在这项工作中，我们提出了一种薛定谔桥的正则化变体，其中包含一个二次状态代价项，以激励最优样本路径保持在名义水平附近。与传统薛定谔桥不同，该正则化引入了与状态相关的概率质量产生和消灭速率，其求解需要确定一个反应-扩散偏微分方程的马尔可夫核。我们以闭式推导出了这个马尔可夫核，表明该正则化薛定谔桥是精确可解的，即使对于非高斯端点也是如此。这推进了现有技术水平，因为现有文献中正则化薛定谔桥的闭式马尔可夫核仅适用于高斯端点。我们的解在正则化消失（即无反应的扩散）极限下恢复出热核，从而将传统薛定谔桥的解作为一个特例恢复出来。我们推导了新核的性质，并解释了其与量子力学中某些精确可解模型的联系。