直抵星辰——一种线性复杂度的 p-多重网格椭圆求解器
数值分析
2019-10-02 v1 计算物理
摘要
高阶方法在计算流体力学中受到越来越多的关注。然而，由于不可压情形下半隐式时间步进带来的时间步长限制，这些方法的潜在优势关键取决于高效的椭圆求解器。由于算子的运算量随多项式次数 乘以自由度数量 而缩放，现有最佳多重网格求解器的运行时间随 缩放。这种随 的缩放显著降低了高阶方法在高阶数下的适用性。虽然在使用静凝聚时残差计算的算子可以线性化，但 Schwarz 型光滑子需要在固定子域上求其逆。在凝聚情形下无已知显式逆，且矩阵-矩阵乘法随 缩放。本文推导了长方体子域中静凝聚算子的无矩阵显式逆。其每个单元随 缩放，即全局随 缩放，并允许一种线性缩放的加性 Schwarz 光滑子，从而产生运算量为 的 -多重网格循环。所得求解器在所有多项式次数下均使用少于四次迭代将残差降低十个数量级，并且对于至少高达 的多项式次数，其运行时间随 线性缩放。此外，在使用 CPU 单核时，在较宽参数范围内每次未知量的运行时间小于一微秒，使得不可压 Navier-Stokes 方程的时间步进中显式处理的对流项与椭圆求解器耗时相当。
引用
@article{arxiv.1808.03595,
title = {Scaling to the stars -- a linearly scaling elliptic solver for $p$-multigrid},
author = {Immo Huismann and Jörg Stiller and Jochen Fröhlich},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.03595},
year = {2019}
}