计算矩阵 $\varphi$-函数逆数的缩放-平方方法

本文旨在开发计算矩阵 $\varphi$-函数逆数 $\psi_\ell(A) := (\varphi_\ell(A))^{-1}$（$\ell =1,2,\ldots$）的高效数值方法，其中 $A$ 为特征值位于开左半平面上的大型稀疏矩阵。虽然 $\varphi$-函数在指数积分器的分析与实现中起关键作用，但其逆数在求解具有非局部边界条件的特定直接问题和逆问题中出现。我们提出了一种基于牛顿-舒尔茨迭代进行矩阵逆运算的标准缩放-平方技术的改进方案，用于计算 $\psi_\ell(A)$。该方法的收敛性在理论和数值上均进行了分析。此外，我们推导并分析了用于近似 $\psi_1(A/2^s)$ 的 Padé 近似，其中 $s$ 为适当选取的整数，为平方过程的根部所必需。数值实验表明，所提出的方法具有有效性。