可扩展基于切比雀夫基的s步预条件共轭梯度与高斯-西德尔格拉姆求解
数值分析
2026-03-30 v2 数值分析
摘要
我们提出了一种s步预条件共轭梯度（PCG）方法的变体，将切比雀夫稳定的 Krylov 基与前向高斯-西德尔（FGS）迭代结合，用于求解简化的格拉姆系统。在s步共轭梯度中，多个搜索方向在每个外层迭代中生成，降低了全局同步成本，但要求求解小密集格拉姆系统，其条件数对稳定性至关重要。我们分析了切比雀夫格拉姆矩阵的结构，表明其基于矩的表示与中等步长下的良好条件数特性相关。基于不完全 Krylov 理论和经典的FGS等价于修改型格拉姆-施密特（MGS）之间的关系，我们提供了结构性分析和理论依据，支持使用少量FGS扫描，同时保持在实际 regimes 中观察到的收敛行为。在现代NVIDIA GPU架构上的大规模实验表明，所提出的切比雀夫稳定、高斯-西德尔增强的s步PCG在收敛性方面相当于经典CG，同时降低了同步开销，成为当前和下一代加速器系统的稳定可扩展替代方案。
引用
@article{arxiv.2603.09790,
title = {Scalable s-step Preconditioned Conjugate Gradient with Chebyshev Basis and Gauss-Seidel Gram Solve},
author = {Pasqua D'Ambra and Massimo Bernaschi and Mauro G. Carrozzo and Stephen Thomas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.09790},
year = {2026}
}