多项式控制仿射系统的 $\mathcal{H}_\infty$ 能量函数的可扩展计算

我们提出了一种可扩展的方法来计算具有多项式非线性的控制仿射系统的非线性平衡能量函数。Al'brekht的幂级数方法用于求解能量函数多项式近似对应的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程。本文的贡献在于基于克罗内克积对该方法进行数值实现，使其能够扩展到超过1000个状态维度。由克罗内克积表示产生的张量结构和对称性是开发高效可扩展算法的关键。我们推导了方程的显式代数结构，为这些方程的可解性和算法复杂度提供了严格的理论，并提供了所提出算法的通用开源软件实现。该方法在两个简单的学术模型上进行了验证，随后在一个维度高达 $n=1080$ 的高维半离散偏微分方程模型上进行了验证。