SANM：一种符号化渐近数值求解器及其在网格变形中的应用

求解非线性系统是一个重要问题。数值延拓方法能高效求解某些非线性系统。渐近数值方法（Asymptotic Numerical Method, ANM）是一种强大的延拓方法，通常比牛顿类方法收敛更快。ANM通过跟踪由高阶幂级数近似的参数化解曲线来探索函数的形态。尽管ANM已成功求解若干图形学与工程问题，但在我们的工作之前，将ANM应用于新问题需要大量精力，因为标准ANM假设二次函数，而手动推导非二次系统的幂级数展开是一项繁琐且具挑战性的任务。本文提出一种新颖求解器SANM，将ANM应用于求解符号表示的非线性系统。SANM以完全自动化的方式求解此类系统。SANM还将ANM扩展至支持许多非二次算子，包括如奇异值分解等复杂算子。此外，SANM将ANM推广至支持隐式同伦形式。并且，SANM通过优化的系统设计与实现获得了较高的计算性能。我们部署SANM求解正演与反演弹性力平衡问题以及带若干本构模型的受控网格变形问题。结果表明，SANM比牛顿类求解器收敛更快，对新问题的编程工作量极小，且性能与手工编码的专用ANM求解器相当或更优。尽管我们在网格变形问题上进行了演示，SANM是通用的，潜在适用于许多任务。