从 Harish-Chandra-Itzykson-Zuber 密度采样矩阵及其在量子推断与差分隐私中的应用

给定两个 $n \times n$ 厄米矩阵 $Y$ 和 $\Lambda$，酉群 $\text{U}(n)$ 上的 Harish-Chandra-Itzykson-Zuber (HCIZ) 分布为 $e^{\text{tr}(U\Lambda U^*Y)}d\mu(U)$，其中 $\mu$ 是 $\text{U}(n)$ 上的 Haar 测度。密度 $e^{\text{tr}(U\Lambda U^*Y)}$ 称为 HCIZ 密度。按 HCIZ 密度分布的随机酉矩阵在物理与随机矩阵理论的多种情形中十分重要。然而，从 HCIZ 分布高效采样这一基本问题一直未解决。我们提出两种高效算法，从接近 HCIZ 分布的分布中采样矩阵。第一种算法输出的样本在总变距离上 $\xi$-接近，所需算术操作数在 $\log 1/\xi$ 以及编码 $Y$ 和 $\Lambda$ 所需比特数上多项式级。第二种算法具有更强的保证，样本在无穷散度上 $\xi$-接近，但算术操作数在 $1/\xi$、编码 $Y$ 和 $\Lambda$ 所需比特数以及 $Y$ 和 $\Lambda$ 的最大与最小特征值之差上多项式依赖。HCIZ 密度也可视为 $\text{U}(n)$-轨道上的指数密度，这些密度在统计、机器学习与理论计算机科学中已被研究。因此我们的结果有以下应用：1) 从统计中研究的矩阵 Langevin 分布的复版本高效采样的算法，2) 从酉轨道上的连续最大熵分布高效采样的算法，这意味着从表示给定密度矩阵的熵最大化系综中高效采样纯量子态的算法，以及 3) 用于差分隐私秩-$k$ 近似的高效算法，对 $k>1$ 具有改进的效用界。