$\mathbb C^{n+1}$ 中指数型整函数空间的采样

本文考虑多变量指数型整函数空间的采样问题。新颖之处在于我们所施加的增长条件，即这些函数限制在一个超曲面上时关于自然测度是平方可积的。我们所考虑的超曲面是 Siegel 上半空间 $\mathcal U$ 的边界 $b\mathcal U$，且基本的一点是 $b\mathcal U$ 可等同于 Heisenberg 群 $\mathbb H_n$。我们考虑 $\mathbb C^{n+1}$ 中关于超曲面 $b\mathcal U$ 的指数型整函数，其在 $b\mathcal U$ 上的限制关于 $\mathbb H_n$ 上的 Haar 测度是平方可积的。对这些函数，我们证明了 Whittaker–Kotelnikov–Shannon 定理的一个版本。我们工作中关键的是 $\mathbb C^{n+1}$ 中关于超曲面 $b\mathcal U$ 的指数型整函数空间，其在 $b\mathcal U$ 上的限制属于 $\mathbb H_n$ 上的某个齐次 Sobolev 空间。对这些空间，利用 $\mathbb H_n$ 上的群 Fourier 变换，我们证明了 Paley–Wiener 型定理和 Plancherel–Pólya 型不等式。