公共随机性生成的轮数复杂性：渐进情形

我们研究了交互轮数对公共随机性生成（CRG）问题的影响。在 CRG 问题中，两方 Alice 和 Bob 分别接收到从源分布 $\mu$ 联合抽取的采样 $X_i$ 和 $Y_i$。两方希望通过交换依赖于各自输入及先前消息的消息，就一个由许多随机比特组成的公共随机密钥达成一致。本工作研究该问题的渐进（amortized）版本，即当生成的随机比特数趋于无穷时，Alice 和 Bob 每输出一个随机比特所需的通信比特数。CRG 问题的渐进版本已被广泛研究，但关于交互对该问题影响的认识极少。最近 Bafna 等人（SODA 2019）考虑了该问题的非渐进版本：他们给出了一族由 $r,n\in\mathbb{N}$ 参数化的源 $\mu_{r,n}$，使得通过 $r+2$ 轮通信可以用 $O(r\log n)$ 的通信量从该源生成 $n$ 比特公共随机性，而用约 $r/2$ 轮时通信复杂性为 $\Omega(n/{\rm poly}\log n)$。注意他们的源是针对目标比特数设计的，因此该结果不适用于渐进情形。本工作从两方面强化了 Bafna 等人的工作：首先我们证明其结果可推广到渐进情形；我们还将上下界轮数复杂性之间的差距缩小到加性常数。具体而言，我们证明对每一对 $r,n \in \mathbb{N}$，使用 $r+2$ 轮通信从源 $\mu_{r,n}$ 生成 $\Omega(n)$ 比特公共随机性的（渐进）通信复杂性为 $O(r\log n)$，而使用 $r$ 轮生成相同随机量所需的渐进通信量为 $\Omega(\sqrt n)$。