量子信道固定点的鲁棒性及其在近似量子马尔可夫链中的应用

给定满足近似固定点方程（误差为 $\varepsilon$）的量子信道和状态，我们是否能找到新的信道和状态，分别接近于原有的信道和状态，使得它们满足精确的固定点方程？对于不同对原始信道和状态结构约束选择，以及要求新信道和状态也满足这些约束的情形，这一问题值得深入探讨。我们通过紧凑性 argument，对上述问题持肯定回答。此外，对于满足特定结构的信道和状态，我们找到信道（和状态）之间距离的显式上界。当这些距离随 $\varepsilon\to 0$ 以特定可取方式迅速衰减时，我们称原始的近似固定点方程是快速可修复的。我们不仅为一般量子信道建立了快速可修复性，还当原始信道和新信道均被要求为酉、混合酉或全局信道时证明了快速可修复性。相反，对于双部分量子系统且信道对一个子系统作用平凡的情况，我们证明近似固定点方程不可快速可修复。在这种情况下，距离最近满足精确固定点方程的信道（和状态）的距离可能以不可取方式依赖于量子系统的维数。我们将关于近似固定点方程的结果用于量子马尔可夫链（QMC）的鲁棒性问题，证明了以下结果：对于任意三部分量子状态，其到QMC集合的距离存在维数相关的上界，该上界随该状态的条件互信息趋于零而衰减。