高动态网络中的鲁棒性

我们研究了一种被称为{\em 鲁棒性}的遗传特性的特殊情况。如果某特性被给定图的所有连通生成子图所继承，则称该特性在该图中是{\em 鲁棒的}。我们在不同背景下对该定义进行了论证，表明尽管该问题是用经典（静态）图论来定义的，但它在高动态网络中起着核心作用。在本文中，我们重点关注{\em 极大独立集}(MIS)的鲁棒性。根据上述定义，如果一个 MIS 在原图的所有连通生成子图中仍然是有效的 MIS，则称其为{\em 鲁棒的}(RMIS)。我们刻画了{\em 所有}可能的 MIS 均为鲁棒的图类。我们表明，在这些特定的图中，寻找鲁棒 MIS 的问题是{\em 局部的}；也就是说，我们提出了一种在 ${\cal LOCAL}$ 模型中仅使用亚对数数量轮次（以节点数 $n$ 计）的 RMIS 算法。从负面来看，我们表明在一般图中，该问题不是局部的。确切地说，我们证明了在某些图中节点进行一致性决策所需轮次下界为 $\Omega(n)$。该结果意味着在一般图中 RMIS 问题与 MIS 问题之间存在分离。这也意味着在这种情况下，任何策略在渐近阶数上都和将所有网络信息收集到一个节点并以集中方式解决问题一样糟糕。受此观察启发，我们提出了一种集中式算法，如果给定图中存在鲁棒 MIS 则计算出来，否则拒绝。值得注意的是，尽管可能存在指数级多的 MIS 和指数级多的连通生成子图，该算法仅需多项式级的局部计算时间。