鲁棒滤波：相关噪声与多维观测

在 20 世纪 70 年代末，Clark [In Communication Systems and Random Process Theory (Proc. 2nd NATO Advanced Study Inst., Darlington, 1977) (1978) 721-734, Sijthoff & Noordhoff] 指出，随机滤波问题的解 $\pi_t$ 连续依赖于观测数据 $Y=\{Y_s,s\in[0,t]\}$ 是自然的。事实上，若信号与观测噪声相互独立，则可以证明，对于任意适当选取的测试函数 $f$，存在一个定义在赋予一致收敛拓扑的连续路径空间 $C([0,t],\mathbb{R}^d)$ 上的连续映射 $\theta^f_t$，使得几乎必然地有 $\pi_t(f)=\theta^f_t(Y)$；参见，例如，Clark [In Communication Systems and Random Process Theory (Proc. 2nd NATO Advanced Study Inst., Darlington, 1977) (1978) 721-734, Sijthoff & Noordhoff], Clark and Crisan [Probab. Theory Related Fields 133 (2005) 43-56], Davis [Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 54 (1980) 125-139], Davis [Teor. Veroyatn. Primen. 27 (1982) 160-167], Kushner [Stochastics 3 (1979) 75-83]。正如 Davis 和 Spathopoulos [SIAM J. Control Optim. 25 (1987) 260-278], Davis [In Stochastic Systems: The Mathematics of Filtering and Identification and Applications, Proc. NATO Adv. Study Inst. Les Arcs, Savoie, France 1980 505-528], [In The Oxford Handbook of Nonlinear Filtering (2011) 403-424 Oxford Univ. Press] 所示，当信号与观测噪声相关但观测过程为标量时，这种类型的鲁棒表示也是可能的。对于一般的相关噪声和多维观测，此类表示并不存在。利用粗糙路径理论，我们提供了弥补这一缺陷的解决方案：将观测过程 $Y$ “提升”为由 $Y$ 及其对应的 L\'{e}vy 面积过程组成的过程 $\mathbf{Y}$，并证明存在一个定义在适当选取的 H"{o}lder 连续路径空间上的连续映射 $\theta_t^f$，使得几乎必然地有 $\pi_t(f)=\theta_t^f(\mathbf{Y})$。