线性自由空间薛定谔方程中的复原与分形化现象
数学物理
2018-12-21 v1 math.MP
摘要
我们考虑有界区间上受齐次线性边界条件约束的一维线性自由空间薛定谔方程。我们证明,在伪周期边界条件下,初边值问题的解在特定(‘有理’)时刻表现出复原现象,即它是初始数据的若干副本的线性组合。等价地,这些时刻的基本解是 delta 函数的有限线性组合。在其他(‘无理’)时刻,对于足够粗糙的初始数据(例如阶跃或更一般的 piecewise 常数函数),解呈现出连续但类分形的轮廓。进一步,我们用可数值计算的本征函数表达一般齐次线性边界条件下的解。利用均匀变换方法(UTM)导出了替代解公式,其在更一般情形下可能有用。随后我们研究了一般线性边界条件(包括 Robin 条件)的影响,并在能量递减条件下发现了新颖的‘耗散型’复原。
引用
@article{arxiv.1812.08637,
title = {Revivals and Fractalisation in the Linear Free Space Schr\"odinger Equation},
author = {Peter J Olver and Natalie E Sheils and David A Smith},
journal= {arXiv preprint arXiv:1812.08637},
year = {2018}
}
备注
32 pages, 19 figures