重访维数为 6 且固定点数为 4 的哈密顿 $S^1$ 流形

若圆群对紧致辛流形作维数为 $2n$ 的哈密顿作用，则至少存在 $n+1$ 个固定点。具有恰好 $n+1$ 个孤立固定点的情形因多种原因具有重要意义。除了维数为 2 且固定点为 2 的情况，以及维数为 4 且固定点为 3 的情况，已被知晓之外，下一个值得关注的情形是维数为 6 且固定点为 4 的情况。针对该情形，Tolman 对其积分上同调环、总 Chern 类以及各固定点圆作用权集合进行了分类。本文采用一种全新的论证方法，证明维数为 6 且固定点为 4 的情况的 Tolman 结果。我们观察到，流形的积分上同调环相对于固定点的moment map值具有良好的基底，最大权值（largest weight）与流形的第一 Chern 类密切相关。我们将利用这些构件来确定圆作用在固定点处的权集合，并进一步确定流形的全球不变量——积分上同调环与总 Chern 类。该方法的思想允许一种直接地解决问题的途径，论证简洁且易于理解。