受限斯特林数与拉赫数矩阵及其逆矩阵

给定 $R \subseteq \mathbb{N}$，令 ${n \brace k}_R$、${n \brack k}_R$ 和 $L(n,k)_R$ 分别为将集合 $[n]$ 划分为 $k$ 个非空子集、循环和列表的方式数，且每个块的元素个数属于 $R$。我们分别称这些为 $R$-受限第二类斯特林数、第一类斯特林数和 $R$-受限拉赫数。注意经典的第二类斯特林数、第一类斯特林数和拉赫数分别为 ${n \brace k} = {n \brace k}_{\mathbb{N}}$、${n \brack k} = {n \brack k}_{\mathbb{N}}$ 和 $L(n,k) = L(n,k)_{\mathbb{N}}$。矩阵 $[{n \brace k}]_{n,k \geq 1}$、$[{n \brack k}]_{n,k \geq 1}$ 和 $[L(n,k)]_{n,k \geq 1}$ 的逆矩阵分别为 $[(-1)^{n-k}{n \brack k}]_{n,k \geq 1}$、$[(-1)^{n-k} {n \brace k}]_{n,k \geq 1}$ 和 $[(-1)^{n-k} L(n,k)]_{n,k \geq 1}$。逆矩阵 $[{n \brace k}_R]^{-1}_{n,k \geq 1}$、$[{n \brack k}_R]^{-1}_{n,k \geq 1}$ 和 $[L(n,k)_R]^{-1}_{n,k \geq 1}$ 存在当且仅当 $1 \in R$。我们将这些矩阵的每个元素表示为两个明确定义的有标森林族基数之差。特别地，$[{n \brace k}_{[r]}]^{-1}_{n,k \geq 1}$ 的元素具有组合解释，肯定地回答了 Choi、Long、Ng 和 Smith 在 2006 年提出的一个问题。如果 $1,2 \in R$ 且对于所有属于 $R$ 的奇数 $n \geq 3$，我们有 $n \pm 1 \in R$，我们进一步证明 $[{n \brace k}_R]^{-1}_{n,k \geq 1}$、$[{n \brack k}_R]^{-1}_{n,k \geq 1}$ 和 $[L(n,k)_R]^{-1}_{n,k \geq 1}$ 的每个元素直至一个显式符号外都是单个明确定义的有标森林族的基数。我们的结果也为 $\Pi_n^{1,d}$（即 $[n]$ 的划分偏序集，其每个部分大小同余于 $1$ 模 $d$）的第一类和第二类惠特尼(Whitney)数的第 $k$ 个提供了组合解释。