斯特林数的斐波那契类比

考虑由 $F_1=1=F_2$ 且对 $n \geq 3$ 有 $F_n =F_{n-1}+F_{n-2}$ 定义的斐波那契数。我们令 $n_F! = F_1 \cdots F_n$ 且 $\binom{n}{k}_F = \frac{n_F!}{k_F!(n-k)_F!}$。令 $(x)_{\downarrow_0} = (x)_{\uparrow_0} = 1$，并对 $k \geq 1$，$(x)_{\downarrow_k} = x(x-1) \cdots (x-k+1)$ 且 $(x)_{\uparrow_k} = x(x+1) \cdots (x+k-1)$。那么第一类和第二类斯特林数是多项式环 $\mathbb{Q}[x]$ 中通常幂基 $\{x^n:n \geq 0\}$ 与下降阶乘基 $\{(x)_{\downarrow_n}:n \geq 0\}$ 之间的连接系数，而拉赫数则是多项式环 $\mathbb{Q}[x]$ 中上升阶乘基 $\{(x)_{\uparrow_n}:n \geq 0\}$ 与下降阶乘基 $\{(x)_{\downarrow_n}:n \geq 0\}$ 之间的连接系数。本文的目标是找到第一类和第二类斯特林数以及拉赫数的斐波那契类比。我们的想法是将下降阶乘基和上升阶乘基替换为 Fibo-下降阶乘基 $\{(x)_{\downarrow_{F,n}}:n \geq 0\}$ 和 Fibo-上升阶乘基 $\{(x)_{\uparrow_{F,n}}:n \geq 0\}$，其中 $(x)_{\downarrow_{F,0}} = (x)_{\uparrow_{F,0}} = 1$，并对 $k \geq 1$，$(x)_{\downarrow_{F,k}} = x(x-F_1) \cdots (x-F_{k-1})$ 且 $(x)_{\uparrow_{F,k}} = x(x+F_1) \cdots (x+F_{k-1})$。随后我们研究通常幂基、Fibo-下降阶乘基与 Fibo-上升阶乘基之间连接系数的组合学。在每种情况下，我们都能给出连接系数的车理论模型，并展示该模型如何为这些系数的许多性质提供组合解释。