六角颗粒堆积在局部外力下的响应：精确结果

我们研究了顶层单个颗粒上施加垂直向下的点力时，由无质量、刚性、无摩擦球形颗粒组成的二维六角堆积的响应。我们采用统计方法，其中接触力的每个力学稳定构型是等概率的。我们证明该问题等价于一个关联 $q$-模型。我们发现响应呈双峰结构，其中两个尖锐且宽度为单颗粒直径的峰位于从外力施加点向下延伸的两个晶格方向上。对于有限尺寸系统，这些峰的幅度向堆积底部递减，同时逐渐在两峰之间出现一个更宽的中心极大值。响应行为表现出随系统尺寸 $N$ 的显著标度行为：堆积内部的响应标度为 $\frac{1}{N}$，而在边界上与 $N$ 无关，因此在热力学极限下只有晶格方向上的峰持续存在。这种定性行为极其稳健，正如我们在不同边界条件下的模拟结果所证明的那样。我们获得了对应于底层离散结构的整数表示的任意系统尺寸下的响应及更高阶关联的表达式。