代数曲面上2-微分形式的留数及其在纠错码中的应用

代数几何码的理论是在20世纪80年代初，继V.D. Goppa的一篇论文之后发展起来的。给定一个有限域上的光滑射影代数曲线X，有两种不同的纠错码构造方法。第一种称为“函数型”，利用X上的有理函数；第二种称为“微分型”，涉及该曲线上的有理1-形式。已有数百篇论文致力于研究这类码。此外，Y. Manin在1984年的一篇文章中给出了函数型构造对任意维代数簇的推广。关于此类码已有少量论文发表，但关于微分型构造向高维情形的推广尚无任何工作。在本论文中，我们提出了一种代数曲面上的微分型码构造。随后，我们研究了这些码的性质，特别是它们与函数型码的关系。一个相当令人惊讶的事实是，与曲线情形相比出现了主要差异。事实上，如果在曲线情形中，一个微分型码总是某个函数型码的正交补，那么这一断言对于曲面通常不成立。最后的观察促使我们研究曲面上某些函数型码的正交补码。因此，我们证明，在曲面的某些条件下，这些码可以实现为微分型码的和。此外，我们表明，对某些“类Bertini”型开放问题的解答，可以为这些码的参数提供非常有趣的信息。