因子乘积中的重复避免

我们考虑组合字理论中关于经典避免问题的一个变体，该变体由 Mousavi 和 Shallit 在 DLT 2013 上提出。设 $\texttt{pexp}_i(w)$ 为字 $w$ 的 $i$ 个因子乘积的指数上确界。重复阈值 $\texttt{RT}_i(k)$ 则是所有 $w\in\Sigma^\omega_k$ 中 $\texttt{pexp}_i(w)$ 的下确界。Mousavi 和 Shallit 得到 $\texttt{RT}_i(2)=2i$ 以及 $\texttt{RT}_2(3)=\tfrac{13}4$。我们证明：若 $i$ 为偶数则 $\texttt{RT}_i(3)=\tfrac{3i}2+\tfrac14$，若 $i$ 为奇数且 $i\ge3$ 则 $\texttt{RT}_i(3)=\tfrac{3i}2+\tfrac16$。