剩余不等式与自由群中的双扭动构位

我们给出了计算自由群中双扭动构位关系的两个结果，这些结果针对满足特定条件的同态映射 $\phi$ 和 $\psi$，即 $\phi$ 的某些剩余词的长度超过 $\psi$ 对生成元的像。我们的第一个结果是一种剩余不等式条件，可用于判定两个词 $u$ 和 $v$ 是否不双扭动等价。进一步我们表明，如果 $\psi$ 已知，而 $\phi$、$u$ 和 $v$ 随机选择，则 $u$ 和 $v$ 不双扭动等价的概率为 1。在单扭动构位的特定情况下，这意味着如果 $\phi$、$u$ 和 $v$ 随机选择，则 $u$ 和 $v$ 进入相同单扭动构位类的概率为 1。我们的第二个结果是对 Kim 的"有界解长度"的推广。我们给出一种用于判定 $\phi$ 和 $\psi$ 满足类似剩余不等式条件时双扭动构位关系的算法。在单扭动构位的特定情况下，若 $\phi$ 的剩余词长度至少为 2，则该算法足以判定任何扭动构位关系。作为我们通用性质的一个结果，我们给出了对 Martino、Turner 和 Ventura 最近结果的初等证明，该结果计算了从一个自由群到另一个自由群的单射态射和满射态射的密度。我们进一步计算了态射像密度的期望值。