通过微分同胚对$\mathbb{R}^n$中紧集的重新定位以及数据集的线性可分性

通过自微分同胚对$n$维流形中的紧集进行重新定位，既具有其自身的理论意义，也对数据科学中的数据分类具有重要的潜在应用。本文提出了一种理论，用于通过$\mathbb{R}^n$的微分同胚，将$\mathbb{R}^n$中有限个紧集重新定位到$\mathbb{R}^n$中的任意目标区域。此外，我们证明，对于任何这样的集合族，存在一个到$\mathbb{R}^{n+1}$的可微嵌入，使得它们的像变得线性可分。作为所建立理论的应用，我们证明，在温和条件下，$\mathbb{R}^n$中有限个紧致数据集可以通过使用Leaky-ReLU、ELU或SELU激活函数的宽度为$n$的深度神经网络(DNN)变得线性可分。此外，我们证明，$\mathbb{R}^n$中任意有限个互不相交的紧致数据集可以通过一个宽度为$(n+1)$的DNN在$\mathbb{R}^{n+1}$中变得线性可分。