1+1 和 3+1 维相对论性 PT 对称费米子理论

本文研究了 1+1 和 3+1 维的相对论性 PT 对称费米子相互作用系统。目标是引入非厄米 PT 对称相互作用项，使其给出实谱。此类相互作用系统或可描述新物理。最简单的非厄米拉格朗日密度为 $L=L_0+L_{int}=\bar\psi(i\not\partial-m)\psi-g\bar\psi\gamma^5\psi$。相应的相对论性狄拉克方程在 1+1 维下 PT 不变，且相应哈密顿量与 PT 对易。然而，色散关系 $p^2=m^2-g^2$ 表明，在手征极限 $m\to0$ 下 PT 对称性破缺。对于相互作用 $L_{int}=-g(\bar\psi\gamma^5\psi)^N$（N=2,3），若相应狄拉克方程 PT 不变，则色散关系在 $m\to0$ 时给出复能量。本文还研究了其他模型，其中与 $\psi$ 耦合的 x 依赖 PT 对称势如 $ix^3$、$-x^4$、$i\kappa/x$、Hulth\'en 势或周期势，并考察了经典轨迹平面。其中某些势的组合给出实谱。在 3+1 维中，最简单系统 $L=L_0+L_{int}=\bar\psi(i\not\partial-m)\psi-g\bar\psi\gamma^5\psi$ 类似于 1+1 维情形，但狄拉克方程因 $T^2=-1$ 而非 PT 不变。这解释了 $m\to0$ 时复本征值的出现。其他洛伦兹不变的二点与四点相互作用在狄拉克方程中给出非厄米 PT 对称项。仅有轴矢量和张量拉格朗日相互作用 $L_{int}=-i\bar\psi\tilde B_\mu\gamma^5\gamma^\mu\psi$ 与 $L_{int}=-i\bar\psi T_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}\psi$ 同时满足相应狄拉克方程的 PT 不变性与非厄米性两要求。两模型在 $m\to0$ 时均给出复谱。本文还探讨了哈密顿量相对于 PT 内积的自伴性这一附加约束对谱的影响。