半群主序下可比较对的相对体积

任意随机矩阵半群 $\mathcal{S}$ 会在概率 $n$-向量集合 $\Delta_{n-1}$ 上诱导一个半群主序关系 $\prec^{\mathcal{S}}$。在 $\Delta_{n-1}$ 中随机选取 $X,Y$：$X$ 和 $Y$ 在 $\prec^{\mathcal{S}}$ 下可比较的概率是多少？我们回顾了在主序关系情形（当 $\mathcal{S}$ 为双随机矩阵集合时）的近期渐近（$n\to\infty$）结果与猜想，讨论了自然推广，并在主序情形下证明了一个新的渐近结果，在 UT-主序关系情形下（即当 $\mathcal{S}$ 为上三角随机矩阵集合时）证明了新的有限-$n$ 精确公式。