K-均值重复过程的相变

设 $x_1,\dots,x_{n}$ 为固定的实数序列。在每个阶段，均匀随机地（不放回）抽取 $k$ 个整数 $\{I_{i}\}_{1\leq i \leq k}$，然后对每个 $i \in \{1,2,\dots,k\}$，将 $x_{I_i}$ 替换为 $(x_{I_1}+x_{I_2}+\dots+x_{I_k})/k$。容易观察到所有坐标都会收敛到 $(x_1+\dots+x_n)/n$。本文扩展了 \cite{chatterjee2019note} 的结果，通过建立 $L^{2}$ 距离的期望衰减阶数。进一步我们确定混合时间处于 $\frac{n}{k \log k}\log n$ 与 $\frac{n}{k-1}\log n$ 之间。