包含自相似谐波相互作用的线性链的色散关系

自然界中许多系统具有树状和分叉结构，例如树木、蕨类植物、蜗牛、肺、血管系统等，并且在很宽的尺度范围内看起来是自相似的。进化通过选择自相似性优化了哪些力学和动力学特性？我们如何在静态和动态框架中描述自相似结构的力学？具有自相似性作为对称性质的物理系统需要引入非局域粒子-粒子相互作用和（准）连续质量分布。我们构造了自相似函数和线性算子，例如拉普拉斯算子和达朗贝尔波算子的自相似变体。得到的自相似线性波动方程描述了一个无限长准连续线性链的动力学，该链具有非局域粒子间弹簧的空间自相似分布。非局域谐波粒子-粒子相互作用的自相似性导致色散关系呈现Weierstrass-Mandelbrot函数形式，表现出自相似和分形特征。我们推导出一个连续近似，将自相似拉普拉斯算子与分数阶积分联系起来，并在低频区域得到振子密度的幂律频率依赖性。关于本模型的详细信息，请参考我们最近的论文（Michelitsch et al., Phys. Rev. E 80, 011135 (2009)）。