三体问题的正则化相空间体积

三体问题的微正则相空间体积是一个具有内在意义的基本量，并且在基于通量的统计理论中，它设定了瓦解时间的尺度。虽然裸相体积发散，但我们证明可以通过减去一个与层级构型相关的参考相体积来定义正则化版本。该参考量，也称为抵消项（counter-term），可从单参数类中选取。给定（负）总能量下的正则化相体积 $\bar\sigma(E)$ 被计算出来。首先，它被化简为仅依赖于质量的函数，且仅通过加性常数对正则化方案的选择敏感。随后，利用解析积分将积分化简为称为形状球（shape sphere）的球面。最后，剩余积分被数值计算，并以参数空间中的等高线图呈现。文中给出了平面三体系统与完整三维系统的正则化相体积。在测试质量极限下，正则化相体积变为负值，从而标志着非层级统计理论的失效。本工作为计算 $\bar\sigma(E,L)$ 开辟了道路，其中 $L$ 为总角动量，进而可与模拟确定的瓦解时间进行比较。