将覆盖问题和量化问题重新表述为相互作用粒子的基态

我们将覆盖问题和量化问题重新表述为$\mathbb{R}^d$中相互作用粒子基态的确定问题，这些相互作用通常涉及单体、两体、三体及更高体相互作用。这是通过将覆盖问题和量化问题与随机介质和统计力学理论中出现的“空洞”最近邻函数的某些优化问题联系起来实现的。这些重新表述再次体现了几何与物理之间的深刻相互作用，使得现在可以利用理论和数值优化技术来分析和求解这些能量最小化问题。覆盖问题和量化问题在众多应用中具有相关性，包括无线通信网络布局、高维数据参数空间搜索、立体定向放射治疗、数据压缩、数字通信、数值分析空间网格划分、编码与密码学等。本文还讨论了覆盖问题和量化问题与球堆积问题和数方差问题之间的联系。我们还证明，无序饱和球堆积提供了相对较薄（经济）的覆盖，并且在足够大的维度上可能产生比已知最佳格覆盖更薄的覆盖。对于量化问题，我们利用球堆积解推导了量化误差的改进上界，在低维到中等维度上，该上界通常显著优于现有上界。我们还证明，无序饱和球堆积能产生相对良好的量化器。最后，我们讨论了我们的结果在引力波探测中的可能应用。