高维空间中的有理角平分问题及域上单纯形的内心

在本文中，我们将所谓的有理角平分问题推广到实数域R的子域k上的n维空间k^n中：在坐标平面内，对于哪些有理数a和b，斜率为a和b的两条直线之间的角平分线的斜率是有理数？首先，我们给出了k^n中方向向量的两条直线之间的角平分线在k^n中具有方向向量的几个特征。为了在k = Q的情况下找到问题的解，我们推导了x_1^2+...+x_n^2 = d x_{n+1}^2的整数解公式，这是负Pell方程x^2-dy^2 = -1的推广，其中d是一个无平方因子的正整数。其次，通过应用上述特征，我们为具有k-有理顶点的给定n-单纯形的内心是k-有理的建立了一个充要条件。在坐标平面中，我们证明了每个具有k-有理顶点和内心的三角形都可以通过缩放一个具有k-有理边长和面积的三角形得到，这是Heronian三角形的一个推广。我们还讨论了具有k-有理顶点的给定三角形的几个中心的一些基本性质。