量子化均值场游戏的排序：关于早期风险投资的应用

量子化均值场游戏模型涉及人群分布的分位数。我们研究了此类游戏的一个类别，其中包含排名游戏的容量，每个代理人的性能基于其终端状态相对于人群 $\alpha$-分位数值 ($\alpha \in (0,1)$) 的评估。这种评估准则旨在选择表现最佳的 $(1-\alpha)\%$ 的代理人。我们提供了两种这种竞争的形式：基于目标的形式和基于阈值的形式。在前者和后者的形式中，为满足选择条件，每个代理人都致力于使其终端状态恰好等于或至少等于人群的 $\alpha$-分位数值。对于基于目标的形式，我们获得了一个解析解，并演示了在 $N$ 人游戏中对于渐进最优响应策略的 $\epsilon$-纳什属性。具体而言，量子化均值场一致性条件表示为一组前向-后向常微分方程组，刻画了平衡时的 $\alpha$-分位数值。对于基于阈值的形式，我们获得了一个半显式解并数值求解了 resulting quantilized mean-field consistency condition。随后，我们在早期风险投资的背景下提出了一种新应用，风险投资公司在有限时间范围内对一组从事竞争的初创公司进行资金支持，其目标是在时间范围结束时选择一 percentage 的 top-ranking 公司以获得下一轮融资。在此背景下，我们讨论了两种形式的数值实验结果和解释，表明基于目标的形式为基于阈值的形式提供了非常好的近似。