用于求解线性偏微分方程的秩启发神经网络
数值分析
2025-06-24 v1 数值分析
摘要
本文提出了一种秩启发神经网络(RINN),以解决物理信息极限学习机(PIELM)在数值求解偏微分方程(PDE)时的初始化敏感性问题。与 PIELM 随机初始化其隐藏层参数不同,RINN 引入了一个预处理阶段。在此阶段,采用协方差驱动的正则化来优化最后一个隐藏层生成的基函数的正交性。其核心创新在于最小化由隐藏层输出导出的协方差矩阵的非对角线元素。通过这样做,强制施加了配置点之间的成对正交约束,从而有效增强了优化函数空间的数值稳定性和逼近能力。RINN 算法分两个连续阶段展开。首先,它进行非线性优化过程以正交化基函数。随后,它使用线性最小二乘法求解 PDE 约束。大量数值实验表明,与 PIELM 相比,RINN 显著降低了由参数初始化引起的性能变异性。结合基于 PDE 损失的早停机制进一步提高了稳定性,确保在不同的初始化设置下保持一致的高精度。
引用
@article{arxiv.2506.17654,
title = {Rank Inspired Neural Network for solving linear partial differential equations},
author = {Wentao Peng and Yunqing Huang and Nianyu Yi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.17654},
year = {2025}
}