通过开覆盖的随机性和低性概念
逻辑
2013-03-21 v1
摘要
算法随机性研究的主要方向之一是低性概念。给定一个随机性概念R，我们问哪些序列A使得相对于A的相对化保持R不变（即R^A = R）？这样的序列称为对R是低的。这个问题扩展到一对随机性概念R和S，其中S较弱：对于哪些A，S^A仍然弱于R？在过去几年中，许多结果通过低计算强度刻画了对随机性低的序列。也有一些结果给出了低序列的测度论刻画。例如，Kjos-Hanssen证明了A对Martin-Löf随机性是低的当且仅当每个A-c.e.测度小于1的开集可以被一个c.e.测度小于1的开集覆盖。在本文中，我们给出了一系列结果，表明各种低性概念可以用类似的方式表达，即通过用某种类型的开集覆盖另一种类型的开集的能力。这提供了一个统一的框架，澄清了对随机性概念的低性的研究，并使我们能够给出许多已知结果的简单证明。我们还利用这个框架证明了新结果，包括证明类Low(MLR;SR)和Low(W2R;SR)重合，回答了Nies的一个问题。其他应用包括对高性概念的刻画，对为什么低随机性等同于低测试的广泛适用解释，以及Low(W2R;S)=Low(MLR;S)的简单证明，其中S是Martin-Löf、可计算或Schnorr随机序列的类。最后一节使用可求和函数和收敛测度机器而不是开覆盖给出了低性概念的刻画。我们以Nies的一个结果的简单证明结束，即Low(MLR)=Low(MLR;CR)。
引用
@article{arxiv.1303.4902,
title = {Randomness and lowness notions via open covers},
author = {Laurent Bienvenu and Joseph S. Miller},
journal= {arXiv preprint arXiv:1303.4902},
year = {2013}
}
备注
This is a revised version of the APAL paper. In particular, a full proof of Proposition 24 is added