四元数梯度与海森矩阵

四元数变量的实标量函数（如均方误差或阵列输出功率）的优化支撑着许多实际应用。求解通常需要计算梯度与海森矩阵，然而四元数变量的实函数本质上是非解析的。为解决此问题，我们基于新型广义HR（GHR）微积分提出了四元数梯度与海森矩阵的新定义，从而能够直接在四元数域高效推导优化算法，而非像当前做法那样将问题变换到实数域。此外，与现有四元数梯度不同，GHR微积分允许乘积法则和链式法则，并且所提出的四元数梯度与海森矩阵与其实数对应物之间存在一一对应关系。阐述了与数值应用相关的四元数梯度与海森矩阵的性质，结果阐明了GHR微积分在极大简化四元数最小均方推导以及四元数最小二乘和牛顿算法中的有用性。所提出的梯度与海森矩阵还被证明具有与相应实值和复值算法相同的通用形式，进一步体现了在算法设计与评估中的优势。