针对正方形内沿对角线存在奇点的被积函数的拟蒙特卡罗方法

拟蒙特卡罗（QMC）方法是为有界变差被积函数设计的，这排除了奇异被积函数。对于在单位立方体 $[0,1]^d$ 边界上或 $[0,1]^d$ 内孤立且可能未知的点处变为奇异的被积函数，已有若干已知方法。此处我们考虑正方形 $[0,1]^2$ 上当点逼近对角线 $x_1=x_2$ 时可能变为奇异的函数，并研究三种求积方法。第一种方法将正方形分割为由奇异线周围区域分隔的两个三角形，并对这两个三角形部分应用最近开发的三角形 QMC 规则。对于奇异性“不比 $|x_1-x_2|^{-A}$（$0<A<1$）更糟”的函数，该方法产生的误差为 $O( (\log(n)/n)^{(1-A)/2})$。我们还考虑了将被积函数延拓到包含奇点的区域的方法，并证明该方法不会优于使用两个三角形的方法。最后，我们考虑对被积函数进行变换，使其在正方形边界上具有对 QMC 更友好的奇异性。当与一些避角 Halton 点或随机化 QMC 结合时，这带来了 $O(n^{-1+\epsilon+A})$ 的误差率，但它对原始奇异被积函数需要更强的假设。