拟内函数与局部因子

我们引入{\it 拟内}(quasi-inner)函数的概念，并证明在有理数域的有限位集 $F$（包含阿基米德位）上，$m+1$ 个局部 {$L$-}因子之比 {$\rho_v(z)=\gamma_v(z)/\gamma_v(1-z)$} 的乘积 $u=\rho_\infty\prod \rho_v$ 在临界线 $\Re(z)= \frac 12$ 左侧是拟内的，其意义如下：在临界线上平方可积函数 Hilbert 空间 $L^2$ 正交分解为 Hardy 空间 $H^2$ 及其正交补的空间中，乘以 $u$ 的乘法矩阵的非对角部分 $u_{21}$ 是一个紧算子。在单位圆盘上解释时，拟内条件意味着相应的 Haenkel 矩阵是紧的。我们证明各个非阿基米德比 $\rho_v$ 均不是拟内的，并且为了证明我们的主要结果，我们利用 Gauss 乘法定理将阿基米德比 $\rho_\infty$ 分解为 $m$ 个拟内函数的乘积，其与每个 $\rho_v$ 的乘积仍保持拟内性质。最后我们证明 Sonin 空间恰为拟内函数 $u=\rho_\infty$ 的对角部分 $u_{22}$ 的核，而当 $u(F)=\prod_{v\in F} \rho_v$ 时，这些 $u(F)_{22}$ 的核构成一个无限维空间的归纳系统，它们是（经典）Sonin 空间的半局部类似物。