量子三部曲：离散 Toda、Y-系统与混沌

我们讨论了与半单有限维李代数或温和编织无限维 Kac-Moody 代数 $G$ 相关的量子 Toda 场理论的离散化，推广了此前针对 $G=A_1$ 情形的离散量子 Liouville 理论构造。该模型定义在离散的二维晶格上，其空间方向长度为 $L$。此外，我们还发现了一个“离散额外维”，其宽度由 $G$ 的秩 $r$ 给出，并在大 $r$ 极限下去紧致化。对于 $G=A_N$ 或 $A_{N-1}^{(1)}$ 的情形，我们在适当的空间边界条件下发现了一种交换 $L$ 和 $N$ 的对称性。该模型的动力学时间演化规则是所谓 Y-系统的量子化，该理论可由量子簇代数很好地描述。我们讨论了其对近期量子混沌讨论的可能启示，并评论了其与 $A_N$ 型量子高阶 Teichmuller 理论的关系。