量子优越性及量子电路输出概率估计的困难性

受近期量子优越性的实验演示推动，证明随机量子电路输出的困难性是一个紧迫的近期目标。我们在多项式层级不坍缩的复杂性理论假设下证明，对任何经典计算机而言，将随机量子电路的输出概率逼近到 $\exp(-\Omega(m\log m))$ 的加性误差是困难的，其中 $m$ 是量子计算中的门数。更精确地说，我们证明上述问题在 $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ 归约下是 $\#\mathsf{P}$-困难的。在近期实验中，量子电路具有 $n$ 个量子比特，其架构为尺寸 $\sqrt{n}\times\sqrt{n}$ 的二维网格。事实上，对于常数深度电路，将输出概率逼近到 $2^{-\Omega(n\log{n})}$ 是困难的。对于深度为 $\log{n}$ 或 $\sqrt{n}$ 且具备反集中性质的电路，分别将输出概率逼近到 $2^{-\Omega(n\log^2{n})}$ 和 $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ 是困难的。我们随后证明，困难性结果扩展到任意开放邻域内的任意（固定）电路，包括具有恒等门的平凡电路。我们力求找到最佳证明并从第一性原理证明了这些结果，未使用诸如 Berlekamp--Welch 算法、通常的 Paturi 引理和 Rakhmanov 结果等标准技术。