二维球面上的量子孤子团动力学

众所周知，Bogomol'nyi 型孤子的低能经典动力学可由静态 $n$-孤子模空间 $M_n$ 中的测地线运动很好地近似。对此动力学有一个显然的量子化方案，其中波函数根据哈密顿量 $H_0$ 演化，$H_0$ 等于 $M_n$ 上的拉普拉斯算子（的一半）。然而，对类似力学系统的 Born-Oppenheimer 约化表明，该简单哈密顿量应包含修正项，包括 $M_n$ 的标量曲率 $k$ 和 $n$-孤子卡西米尔能量 $C$；这些项通常难以计算，且它们对能谱的影响尚不清楚。本文分析了 $H_0$ 以及由 Moss 和 Shiiki 的工作所建议的两个修正哈密顿量 $H_1=H_0+k/4$ 和 $H_2=H_1+C$ 的能谱，研究对象为在二维球面上运动的单个 $\mathbb{C}P^1$ 孤子团这一简单但非平凡的情形。此处 $M_1=TSO(3)$，这是一个在 $SO(3)\times SO(3)$ 作用下不变的非紧凯勒 6 维流形，其几何性质已得到充分理解。该对称性导致了两个守恒角动量：自旋和同位旋。我们发现 $M_1$ 存在一个隐藏等距变换，这意味着所有三个能谱都在自旋 - 同位旋交换下具有对称性。我们在 $TSO(3)$ 的零截面上精确求得了卡西米尔能量，并在 $M_1$ 的其余部分进行了数值近似。我们求得了 $i=0,1,2$ 时 $H_i$ 的最低 19 个本征值，并比较了它们的自旋 - 同位旋和宇称。$H_1$ 中的曲率修正导致低能级谱在定性上保持不变，而 $H_2$ 中的卡西米尔能量则导致了显著变化。我们分析了能谱随定义域球和目标球半径变化的标度行为，发现当目标球变小时，$H_1$ 和 $H_2$ 能谱之间的差异会减小。